Question

△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．
（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．
（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的時，求線段EF的長．

Answer 1

（1）見解析      （2）見解析    （3）5

試題分析：1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
證明：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴．
∵BD=CD，
∴．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  
（3）連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，
∴AD=8
∴S_△ABC=BC•AD=×12×8=48．
S_△DEF=S_△ABC=×48=12．
又∵AD•BD=AB．DH，
∴DH===，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD  
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=．
∵S_△DEF=×EF×DG=12，
∴EF==5．


點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及三角形面積計(jì)算，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定得出對應(yīng)用邊與對應(yīng)角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．