Question

如圖所示，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設(shè)BP=y，PE=x．

（1）當(dāng)x=EF時，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）當(dāng)CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①當(dāng)CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）1：36     （2）y=6﹣x     （3）y=6（n﹣1）﹣x

試題分析：（1）∵E、F分別是AB、AC的中點，x=EF，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴=，
∴S_△DPE：S_△DBC=1：36；
（2）如右圖，設(shè)CQ=a，DE=b，BD=c，則DP=y﹣c；
不妨設(shè)EQ=kCQ=ka（k＞0），則DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．
過Q點作QM⊥BC于點M，作QN⊥BP于點N，
∵BQ平分∠CBP，
∴QM=QN．
∴，
又∵，
∴，即 ①
∵EP∥BC，∴，即 ②
∵EP∥BC，∴，即 ③
由①②③式聯(lián)立解得：y=6k﹣x ④
當(dāng)CQ=CE時，k=1，
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6﹣x．
（3）當(dāng)CQ=CE時，k=2，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=12﹣x；
當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6（n﹣1）﹣x．

點評：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關(guān)系、三角形中位線定理和角平分線性質(zhì)等重要知識點，難度較大．在解題過程中，涉及到數(shù)目較多的線段和較為復(fù)雜的運算，注意不要出錯．本題第（2）（3）問，采用了從一般到特殊的解題思想，簡化了解答過程；同學(xué)們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當(dāng)CQ=CE時，CQ=CE時分別探究y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后推廣到當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時的一般情況．