Question

如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點(diǎn)，且AE=AB，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿D→C→B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，直線EP交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線FG⊥DE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)R．
（1）求證：AF=AR；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
①求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PRBC是矩形？
②如圖2，連接PB．請(qǐng)直接寫出使△PRB是等腰三角形時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可知AD=AE，∠DAE=90°，則∠DEA=45°，在△ERG中，RG⊥DE，則∠FRA=45°，可證AF=AR；
（2）①當(dāng)四邊形PRBC是矩形時(shí)，則有PR∥BC，AF∥PR，可證△EAF∽△ERP，利用相似比求AR，而AR=DP=t，由此求t的值；②當(dāng)△PRB是等腰三角形時(shí)，PC=2BR，列方程求t的值．
解答：（1）證明：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB=2，
∵AE=AB，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=45°，
又∵FG⊥DE，
∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，
∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，
∴∠FRA=∠RFA=45°，
∴AF=AR；

（2）解：①如圖，當(dāng)四邊形PRBC是矩形時(shí)，
則有PR∥BC，
∴AF∥PR，
∴△EAF∽△ERP，
∴，即：由（1）得AF=AR，
∴，
解得：或（不合題意，舍去），
∴，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿D→C→B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，
∴（秒）；
②若PR=PB，
過點(diǎn)P作PK⊥AB于K，
設(shè)FA=x，則RK=BR=（2-x），
∵△EFA∽△EPK，
∴，
即：=，
解得：x=±-3（舍去負(fù)值）；
∴t=（秒）；
若PB=RB，
則△EFA∽△EPB，
∴=，
∴，
∴BP=AB=×2=
∴CP=BC-BP=2-=，
∴（秒）．
綜上所述，當(dāng)PR=PB時(shí)，t=；當(dāng)PB=RB時(shí)，秒．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形、矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用相似比列方程求解．