Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出A，B，C三點的坐標并求拋物線的解析式；
（3）探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由．
（4）在拋物線對稱軸上是否存在點M，使點M到點A和B的距離之差最大？若存在，直接寫出所有符合條件的點M坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）對稱軸為x=-=2.5，即拋物線y=ax²-5ax+4的對稱軸是直線x=2.5；

（2）令x=0，則y=4，
∴點C的坐標為（0，4），
又∵BC∥x軸，點B，C關于對稱軸對稱，
∴點B的坐標為（5，4），
又∵AC=BC，
∴AC=BC=5，OA=3，點A在x軸上，
∴點A的坐標為A（-3，0），
∵拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過點A，
∴9a+15a+4=0，
解得，a=-，
∴拋物線的解析式是y=-x²+x+4，
∴A，B，C三點的坐標分別是（-3，0），（5，4），（0，4），拋物線的解析式是y=-x²+x+4；

（3）存在符合條件的點P共有3個．以下分三類情形探索．
設拋物線對稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過點B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80；
在Rt△ANP₁中，P₁N²=AP₁²-AN²=AB²-AN² =80-（5.5）² =，
∴P₁（，-）；
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中，MP₂²=BP₂²-BM²=AB²-BM²=，
∴P₂（，4-）；
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點C．
過點P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，
∵∠CP₃K=∠ABQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴P₃K：CK=BQ：AQ=1：2．
∵P₃K=2.5
∴CK=5，于是OK=1，
∴P₃（，-1）；

（4）直線AC交拋物線對稱軸于點M，連接MB．
∵對稱軸x=是線段BC的垂直平分線，
∴MB=MC，
∴MA-MB=MA-MC=AC；
在拋物線對稱軸上任取另外一點M′，則M′A-M′B=M′A-M′C＜AC（三角形兩邊之差小于第三邊），
∴線段AC為差值最大值，
根據(jù)A，C坐標得出，直線AC的解析式為y=x+4．
則點M的坐標為（，）．
分析：（1）根據(jù)對稱軸x=-，代入求出即可；
（2）令x=0，求出C的坐標，根據(jù)拋物線的對稱求出點B的坐標，由AB=BC=5，OA=4，得到A的坐標，代入解析式即可求出解析式；
（3）分三種情況討論：
①以AB為腰且頂角為∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性質結合勾股定理求出P₁N的長，即可求出P₁的坐標；
②以AB為腰且頂角為角B，根據(jù)MN的長和MP₂的長，求出P₂的縱坐標，已知其橫坐標，可得其坐標；
③以AB為底，頂角為角P時，依據(jù)Rt△P₃CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的長，可得P₃坐標；
（4）在拋物線的對稱軸確定一點M，使|AM-BM|的值最大時，點M為直線AC與拋物線對稱軸的交點．
點評：本題主要考查的是二次函數(shù)綜合題．解題時，注意對線段的垂直平分線定理、勾股定理、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．