【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點O在AB上,經過點A的⊙O與BC相切于點D,交AB于點E.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若CD=1,求圖中陰影部分的面積(結果保留π).
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)連接DE,OD.利用弦切角定理,直徑所對的圓周角是直角,等角的余角相等證明∠DAO=∠CAD,進而得出結論;
(2)根據等腰三角形的性質得到∠B=∠BAC=45°,由BC相切⊙O于點D,得到∠ODB=90°,求得OD=BD,∠BOD=45°,設BD=x,則OD=OA=x,OB=x,根據勾股定理得到BD=OD=,于是得到結論.
試題解析:解:(1)證明:連接DE,OD.
∵BC相切⊙O于點D,∴∠CDA=∠AED,∵AE為直徑,∴∠ADE=90°,∵AC⊥BC,∴∠ACD=90°,∴∠DAO=∠CAD,∴AD平分∠BAC;
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°,∵BC相切⊙O于點D,∴∠ODB=90°,∴OD=BD,∴∠BOD=45°,設BD=x,則OD=OA=x,OB=x,∴BC=AC=x+1,∵AC2+BC2=AB2,∴2(x+1)2=(x+x)2,∴x=,∴BD=OD=,∴圖中陰影部分的面積=S△BOD﹣S扇形DOE==.
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【題目】在平面直角坐標系中,現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐上,且點A(0,2),點C(,0),如圖所示:拋物線經過點B。
(1)求點B的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點P的坐標;若不存在,請說明理由。
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【題目】如圖,在邊長為6cm的正方形ABCD中,動點P從點A出發(fā),沿線段AB以每秒1cm的速度向點B運動;同時動點Q從點B出發(fā),沿線段BC以每秒2cm的速度向點C運動.當點Q到達C點時,點P同時停止,設運動時間為t秒.(注:正方形的四邊長都相等,四個角都是直角)
(1)CQ的長為______cm(用含的代數式表示);
(2)連接DQ并把DQ沿DC翻折,交BC延長線于點F.連接DP、DQ、PQ.
①若,求t的值.
②當時,求t的值,并判斷與是否全等,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F為邊BC的中點,DF與對角線AC交于點M,過M作ME⊥CD于點E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的長;
(2)求證:AM=DF+ME.
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【題目】在平面直角坐標系中,我們定義直線為拋物線、b、c為常數,的“夢想直線”;有一個頂點在拋物線上,另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”.
已知拋物線與其“夢想直線”交于A、B兩點點A在點B的左側,與x軸負半軸交于點C.
填空:該拋物線的“夢想直線”的解析式為______,點A的坐標為______,點B的坐標為______;
如圖,點M為線段CB上一動點,將以AM所在直線為對稱軸翻折,點C的對稱點為N,若為該拋物線的“夢想三角形”,求點N的坐標;
當點E在拋物線的對稱軸上運動時,在該拋物線的“夢想直線”上,是否存在點F,使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點E、F的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點是等邊三角形內一點,將繞點 .按順時針方向旋轉得, 連接.
(1)求證:是等邊三角形;
(2)當時, 試判斷的形狀,并說明理由;
(3)探究:當為多少度時,是等腰三角形.
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【題目】如圖,已知反比例函數y=-與一次函數y=kx+b的圖象交于A、B兩點,且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是-2.
求:(1)一次函數的解析式;
(2)△AOB的面積.
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【題目】【題目】某蔬菜生產基地在氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為20℃的條件下生長最快的新品種.圖示是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉及關閉后,大棚內溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數圖象,其中BC段是反比例函數y=一的圖象上一部分,請根據圖中信息解答下列問題
(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內溫度20℃的時間有多少小時?
(2)求k的值;
(3)當x=20時,大棚內的溫度約為多少度?
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【題目】某公司為獎勵在趣味運動會上取得好成績的員工,計劃購買甲、乙兩種獎品共20件,其中甲種獎品每件40元,乙種獎品每件30元.
(1)如果購買甲、乙兩種獎品共花費了650元,求甲、乙兩種獎品各購買了多少件;
(2)如果購買乙種獎品的件數不超過甲種獎品件數的2倍,總花費不超過680元,求該公司有哪幾種不同的購買方案.
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