Question

17．某公司銷售的一種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析，5月份的日銷售件數(shù)為：-2t+96（其中t為天數(shù)），并且前15天，每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤15，且t為整數(shù)），第16天到月底每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₂=$\frac{1}{2}$t+40（16≤t≤31，且t為整數(shù)），根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）5月份第10天的銷售件數(shù)為76件，銷售利潤(rùn)為190元；
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)5月份中哪一天的日銷售利潤(rùn)w最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前15天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)m元利潤(rùn)（m＜4）給希望工程．公司通過(guò)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前15天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)w隨t的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將t=10代入-2t+96求得銷售量，代入y₁求得銷售價(jià)格，繼而根據(jù)利潤(rùn)=銷售量×每件利潤(rùn)計(jì)算可得；
（2）日利潤(rùn)=日銷售量×每件利潤(rùn)，據(jù)此分別表示1≤t≤15和16≤t≤31的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前15天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)t=10時(shí)，銷售件數(shù)-2t+96=76（件），銷售價(jià)格y₁=$\frac{1}{4}$×10+25=27.5（元/件），
∴銷售利潤(rùn)為（27.5-20）×76=570元，
故答案為：76，570；

（2）①當(dāng)1≤t≤15時(shí)，w=（$\frac{1}{4}$t+25-20）（-2t+96）
=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+5）
=-$\frac{1}{2}$t²+14t+480
=-$\frac{1}{2}$（t-14）²+578，
∵1≤t≤15，
∴當(dāng)t=14時(shí)，w有最大值578（元）．
②當(dāng)16≤t≤31時(shí)，w=（-2t+96）（$\frac{1}{2}$t+40-20）
=（-2t+96）（$\frac{1}{2}$t+20）
=-t²+8t+1920
=-（t-4）²+1936．
∵當(dāng)t＞4時(shí)，w隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=16時(shí)，w有最大值為-（16-4）²+1936=1792（元）．
∵1792＞578，
∴第16天時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，為1792元；
答：預(yù)測(cè)5月份中第16天的日銷售利潤(rùn)w最大，最大日銷售利潤(rùn)是1792元；

（3）w=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20-m）=-$\frac{1}{2}$t²+（4+2m）t+480-96m，對(duì)稱軸t=14+2m，
∵a=-$\frac{1}{2}$，
∴只有當(dāng)t≤2m+14時(shí)，w隨t的增大而增大
 又每天扣除捐贈(zèng)后的日利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，
故：15≤2m+14  
解得：m≥$\frac{1}{2}$，
即m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，w隨t的增大而增大，
又m＜4，
∴$\frac{1}{2}$≤m＜4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性，最值問(wèn)題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．