Question

【題目】閱讀下面材料：
小昊遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC邊上的中線，點D在BC邊上，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點P，求 的值．

（1）小昊發(fā)現，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，通過構造△AEF，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．
請回答： 的值為 ．
（2）參考小昊思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P，DC：BC：AC=1：2：3．
①求 的值；
（3）②若CD=2，則BP= ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，如圖，

設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．

∵E是AC中點，

∴AE=CE．

∵AF∥DB，

∴∠F=∠1．

在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB，

∴EF=BE，AF=BC=2k．

∵AF∥DB，

∴△AFP∽△DBP，

∴ = = = = ．

∴ 的值為

（3）6
【解析】解：（1） 的值為 ．
提示：易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．
設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，
由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
即可得到 = = ．
所以答案是： ；
·（3）②當CD=2時，BC=4，AC=6，
∴EC= AC=3，EB= =5，
∴EF=BE=5，BF=10．
∵ = （已證），
∴ = ，
∴BP= BF= ×10=6．
所以答案是6．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．