Question

【題目】如圖，在平面直角些標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），C（2，0），與y軸交于點(diǎn)B，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，求PB+PD的最小值；

（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有　 　個(gè)．

Answer 1

【答案】（1），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）；（2）最小值為；（3）5個(gè)

【解析】

(1)將A、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx﹣，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而得到其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最�。�最小值就是線段DH，求出DH即可．

(3)當(dāng)以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，分三種情況：①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=AB；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BM=AB；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=BM．由M點(diǎn)的個(gè)數(shù)則可得出點(diǎn)N的個(gè)數(shù)有5個(gè)．

(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，0)C(2，0)，

∴，

解得：，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，

∵y=，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()；

(2)如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，

∴，

∵，

∴∠ABO=30°，

∴PH=PB，

∴PB+PD=PH+PD=DH，

∴此時(shí)PB+PD最短(垂線段最短);

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()，

∴，

∵∠ABO=30°，

∴∠HAD=60°，

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，

∴sin60°=，

∴DH=，

∴PB+PD的最小值為；

(3)①以A為圓心AB為半徑畫弧，因?yàn)?/span>AB＞AD，故此時(shí)圓弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且AM=AB，即M點(diǎn)存在兩個(gè)，所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個(gè)；

②以B為圓心AB為半徑畫弧，因?yàn)?/span>，故此時(shí)圓弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且BM=AB，即M點(diǎn)有兩個(gè)，所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個(gè)；

③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=BM，因?yàn)?/span>M點(diǎn)有一個(gè)，所以滿足條件的N點(diǎn)有一個(gè)；

則滿足條件的N點(diǎn)共有5個(gè)，

故答案為：5．