【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)直線y=﹣x+n與該拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D,與線段BC交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,且BE=4EC.
①求n的值;
②連接AC,CD,線段AC與線段DF交于點(diǎn)G,△AGF與△CGD是否全等?請(qǐng)說明理由;
(3)直線y=m(m>0)與該拋物線的交點(diǎn)為M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),點(diǎn) M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M',點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,0).若四邊形OM'NH的面積為.求點(diǎn)H到OM'的距離d的值.
【答案】(1);(2)①n=﹣2;②△AGF與△CGD全等;(3).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),可得拋物線的解析式;
(2)①過點(diǎn)E作EE'⊥x軸于E',則EE'∥OC,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得BE'=4OE',設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y),則OE'=x,BE'=4x,根據(jù)OB=2,可得x的值,再根據(jù)直線BC的解析式即可得到E的坐標(biāo),把E的坐標(biāo)代入直線y=﹣x+n,可得n的值;
②根據(jù)F(﹣2,0),A(﹣1,0),可得AF=1,再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3),可得CD∥x軸,CD=1,再根據(jù)∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,即可判定△AGF≌△CGD;
(3)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出OH=1=M'N,進(jìn)而判定四邊形OM'NH是平行四邊形,再根據(jù)四邊形OM'NH的面積,求得OP的長(zhǎng),再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)得到PM'的長(zhǎng),Rt△OPM'中,運(yùn)用勾股定理可得OM'的值,最后根據(jù)OM'×d=,即可得到d的值.
試題解析:(1)∵拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),∴,解得:,∴該拋物線的解析式;
(2)①如圖,過點(diǎn)E作EE'⊥x軸于E',則EE'∥OC,∴,∵BE=4EC,∴BE'=4OE',設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y),則OE'=x,BE'=4x,∵B(2,0),∴OB=2,即x+4x=2,∴x=,∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,∴C(0,﹣3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b',∵B(2,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴直線BC的解析式為,當(dāng)x=時(shí),y=﹣,∴E(,﹣),把E的坐標(biāo)代入直線y=﹣x+n,可得﹣+n=﹣,解得n=﹣2;
②△AGF與△CGD全等.理由如下:
∵直線EF的解析式為y=﹣x﹣2,∴當(dāng)y=0時(shí),x=﹣2,∴F(﹣2,0),OF=2,∵A(﹣1,0),∴OA=1,∴AF=2﹣1=1,由,解得:或,∵點(diǎn)D在第四象限,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣3),∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3),∴CD∥x軸,CD=1,∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,∴△AGF≌△CGD;
(3)∵拋物線的對(duì)稱軸為x= =,直線y=m(m>0)與該拋物線的交點(diǎn)為M,N,∴點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=對(duì)稱,設(shè)N(t,m),則M(1﹣t,m),∵點(diǎn) M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M',∴M'(t﹣1,m),∴點(diǎn)M'在直線y=m上,∴M'N∥x軸,∴M'N=t﹣(t﹣1)=1,∵H(1,0),∴OH=1=M'N,∴四邊形OM'NH是平行四邊形,設(shè)直線y=m與y軸交于點(diǎn)P,∵四邊形OM'NH的面積為,∴OH×OP=1×m=,即m=,∴OP=,當(dāng)=時(shí),解得x1=﹣,x2=,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣,),∴M'(,),即PM'=,∴Rt△OPM'中,OM'==,∵四邊形OM'NH的面積為,∴OM'×d=,∴d=.
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C.42×105
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(1)觀察如圖(1)“箭頭圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系,并說明理由;
(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,回答下列兩個(gè)問題:
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①分別以B,C為圓心,以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于兩點(diǎn)M,N;
②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接CD.
若CD=AC,∠A=50°,則∠ACB的度數(shù)為( 。
A.90°
B.95°
C.100°
D.105°
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