Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，4），點B（-3，0），動點P從B出發(fā)以每秒2個單位的速度沿x軸正方向移動，同時動點E從O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸負(fù)方向移動，點Q是點P關(guān)于點E的對稱點，設(shè)點P運(yùn)動時間是t秒．
（1）當(dāng)P點在x軸正半軸上運(yùn)動時，OP=2t-3，OQ=4t-3；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）連結(jié)AP，AQ，是否存在t的值，使△PAQ是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）當(dāng)P點在x軸正半軸上運(yùn)動時，連結(jié)AP，點C是線段AP上的一點，且AC=$\frac{1}{4}$AP，連結(jié)OC，將△OAC沿OC所在的直線折疊得到△OCD，當(dāng)△OCD與△OCP重疊部分的面積是△OCP面積的$\frac{1}{3}$時，t的取值范圍是t≥$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由于點P在x軸的正半軸，由P、E兩點的速度即可求出BP與OE的長度，再有對稱性即可求出OQ的長度；
（2）若△PAQ是直角三角形，則可能∠AQP=90°，∠APQ=90°，∠QAP=90°，然后三情況分別進(jìn)行討論求出t的值；
（3）由于AC=$\frac{1}{4}$AP，所以△OAC面積是△OCP面積的$\frac{1}{3}$，由于當(dāng)△OCD與△OCP重疊部分的面積是△OCP面積的$\frac{1}{3}$，所以△OAC面積等于△OCD與△OCP重疊部分的面積，此時點D需要在線段AP上，或者在線段AP下方，所以只需要求出點D在AP上時，此時t的值即可求出t的范圍．

解答 解：（1）由題意可知BP=2t，OE=t
設(shè)P的坐標(biāo)為（x₁，0），Q的坐標(biāo)為（x₂，0），
∵BP=x₁+3，
∴x₁=2t-3，
∴OP=2t-3
∵OE=t，
∴E的坐標(biāo)為（-t，0），
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-t$，
∴x₂=-4t+3，
∴OQ=4t-3；

（2）由（1）可知：P（2t-3，0），E（-t，0），Q（-4t+3，0），
當(dāng)∠AQP=90°時，
此時-4t+3=0，
∴t=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)∠APQ=90°時，
此時2t-3=0，
∴t=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)∠QAP=90°時，
此時P必在x軸的正半軸，
易證：△OQA∽△QAP，
∴OQ•OP=OA²
∴（2t-3）（4t-3）=16，
∴解得：t=$\frac{9±\sqrt{137}}{8}$
∵t＞0，
∴t=$\frac{9+\sqrt{137}}{8}$

（3）設(shè)△OAC面積等于△OCD與△OCP重疊部分的面積為S_陰，
∵AC=$\frac{1}{4}$AP，
∴S_△OAC=$\frac{1}{3}$S_△OCP，
∵S_陰=$\frac{1}{3}$S_△OCP，
∴S_陰=S_△OAC
此時點D只能在AP上或在AP的下方，
當(dāng)點D在AP上時，
由于點A與D關(guān)于OC對稱，
∴AC=CD，
∵AC=$\frac{1}{4}$AP，
∴D是AP的中點，
∴在Rt△AOP中，
OD是AP上的中線，
∴AP=2OD，
∵OA=OD=4，
∴AP=8，
由勾股定理可知：AP²=OA²+OP²，
∴t=$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$，
∴當(dāng)△OCD與△OCP重疊部分的面積是△OCP面積的$\frac{1}{3}$時，
t≥$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．

點評 本題考查圖形變換，涉及到直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定，軸對稱的性質(zhì)等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生綜合運(yùn)用知識才能解決．