Question

19．如圖，已知⊙O的半徑為4，CD是⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，B為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠ABC=30°，AB為⊙O的切線，且AB=AC．圖中陰影部分的面積是$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，連接OA，AD，構(gòu)建直角△ADC，利用“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理來(lái)求弦AC的長(zhǎng)度；根據(jù)圖示知，圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+△AOC的面積．

解答 解：如圖，連接OA，AD，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°．
∵∠ACB=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$CD=4，
則根據(jù)勾股定理知AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4$\sqrt{3}$，則S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
∵點(diǎn)O是△ADC斜邊上的中點(diǎn)，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=4$\sqrt{3}$．
根據(jù)圖示知，S_陰影=S_扇形ADO+S_△AOC=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$+4$\sqrt{3}$=$\frac{8π}{3}$+4$\sqrt{3}$，即圖中陰影部分的面積是$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$；
故答案為$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算．解答時(shí)，求△AOC的面積的面積的技巧性在于利用了“等邊同高”三角形的面積相等的性質(zhì)．