Question

20．如圖，拋物線C₁：y=（x-2）²，直線l：y=$\frac{1}{2}$x-1，頂點為A₁，l與y軸交于B點，將C₁沿A₁B方向平移n個單位的C₃，且C₃的頂點及x軸的兩個交點為頂點的三角形為正三角形，求n．

Answer 1

分析 作DH⊥EF，如圖，A（2，0），利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設D點坐標為（t，$\frac{1}{2}$t-1），利用頂點式得到拋物線C₃的解析式，再利用拋物線與x軸的交點問題表示出E點和F點坐標，從而得到EF的長，然后利用等邊三角形的性質利用DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF得到關于t的方程，再解方程求出t的值，最后根據兩點間的距離公式計算n的值．

解答 解：作DH⊥EF，如圖，A（2，0），
設D點坐標為（t，$\frac{1}{2}$t-1），則拋物線C₃的解析式為y=（x-t）²+$\frac{1}{2}$t-1，
當y=0時，（x-t）²+$\frac{1}{2}$t-1=0，解得x₁=t+$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，x₂=t-$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，則E（t-$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，0），F(xiàn)（t+$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，0），
所以EF=t+$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$-（t-$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$）=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，
因為△DEF為等邊三角形，
所以DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，即1-$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，解得t₁=2（舍去），t₂=-4，則D（-4，-3），
所以A₁D=$\sqrt{（2+4）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
即n的值為3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．解決本題的關鍵是求出平移后拋物線的頂點D的坐標．