Question

5．如圖，△ABC中，AB=AC，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與AC切于點E，與BC交于點D，過D作⊙O的切線交AC于F，⊙O的半徑為3，CF=1．
（1）求DC的長；（2）求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、OE，由切線的性質(zhì)得出∠OEF=∠ODF=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=∠C，證出OD∥AC，得出AC⊥DF，因此∠EFD=90°，證出四邊形ODFE是矩形，由OD=OE，證出四邊形ODFE是正方形，得出OE=DF=EF=OD=OB=3，由勾股定理求出CD即可；
（2）設(shè)AB=AC=x，則OA=x-3，AE=x-4，在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）連接OD、OE，如圖所示：
∵OB為半徑的⊙O與AC切于點E，DF是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，OD⊥DF，
∴∠OEF=∠ODF=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴AC⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴四邊形ODFE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四邊形ODFE是正方形，
∴OE=DF=EF=OD=OB=3，
∵∠DFC=90°，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）設(shè)AB=AC=x，則OA=x-3，AE=x-4，
在Rt△AOE中，AE²+OE²=OA²，
即（x-4）²+3²=（x-3）²，
解得：x=8，
即AB的長為8．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明四邊形ODFE是正方形是解決問題的關(guān)鍵．