Question

如圖，點(diǎn)M，N分別是等邊△ABC邊AB，CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．
求證：NC=BM+MN．

Answer 1

證明：在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，
BD=DC，∠MBD=∠ECD，BM=EC，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND與△END中，
ND=ND，∠MDN=∠EDN，MD=DE，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．
分析：先求證△MBD≌△ECD可得MD=DE，∠MDB=∠EDC，進(jìn)而求證△MND≌△END，即可得MN=NE，即可證明CN=NE+CE=MN+BM，即可解題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形各邊長(zhǎng)、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證MN=NE是解題的關(guān)鍵．