Question

4．如圖，將一個正方形紙片AOCD，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，4），點O（0，0），點D在第一象限．點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點O落在點P處，點C落在點G處，PG交DC于點H，折痕為EF，連接OP，OH．設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m．
（Ⅰ）若∠APO=60°，求∠OPG的大小；
（Ⅱ）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長l是否發(fā)生變化？若變化，用含m的式子表示l；若不變化，求出周長l；
（Ⅲ）設(shè)四邊形EFGP的面積為S，當(dāng)S取得最小值時，求點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8，
（3）先證明△EON≌△EPN，再利用相似三角形的性質(zhì)得出CF的長，再表示出求出梯形OCFE面積，進(jìn)而求出最小值

解答 解：（1）∵正方形紙片折疊，使點O落在點P處，點C落在點G處，
∴∠POC=∠OPG，
∵四邊形AOCD是正方形，
∴AD∥OC
∴∠APO=∠POC
∴∠APO=∠OPG，
∵∠APO=60°，
∴∠OPG=60°，
（2）△PDH的周長不發(fā)生變化，
理由：如圖，過B作OQ⊥PG，垂足為Q．

∴∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PQO=90°，
由（1）知，∠APO=∠OPG，
∵OP=OP，
∴△AOP≌△QOP，
∴AP=QP，AO=QO，
∵AO=OC，
∴OC=OQ，
∵∠OCD=∠OQH=90°，OH=OH，
∴Rt△OCH≌Rt△OQH，
∴CH=QH，
∴△PDH的周長l=PD+DH+PH
=PD+DH+PQ+QH
=PD+PQ+DH+QH
=PD+AP+DH+CH
=AD+CD
=8，
∴△PDH的周長不發(fā)生變化，周長為定值8；
（3）如圖2，過點F作FM⊥OA，

由折疊知，△EON與△EPN關(guān)于直線EF對稱，
∴△EON≌△EPN，
∴ON=PN，EP=EO，EN⊥PO，
∵∠A=∠ENO，∠AON=∠AOP，
∴△EON∽△POA，
∴$\frac{PO}{EO}=\frac{PA}{EN}=\frac{OA}{ON}$①，
設(shè)AP=x，
∵點A（0，4），
∴OA=4，
∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
將OP，ON代入①式得，OE=PE=$\frac{1}{8}$（16+x²），
∵∠EFM+∠OEN=90°，∠AOP+∠OEN=90°，
∴∠EFM=∠AOP，
在Rt△EFM和Rt△POA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EFM=∠AOP}\\{FM=OA}\\{∠A=∠EMF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFM≌Rt△POA（ASA），
∴EM=AP=x．
∴FG=CF=OM=OE-EM
=$\frac{1}{8}$（16+x²）-x
=$\frac{1}{8}$x²-x+2，
∴S_梯形EFGP=S_梯形OCFE
=$\frac{1}{2}$（FG+OE）×BC
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{8}$x²-x+2+$\frac{1}{8}$（16+x²）]×4
=$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，
∴當(dāng)x=2時，S_梯形EFGP最小，最小值是6，
∴AP=2，
∴P（2，4）．

點評 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學(xué)生要熟練掌握各部分知識，才能順利解答這類題目．