Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC位矩形，O為坐標原點，C在x軸上，OA，OC的長滿足|OA-5|+（OC-13）²=0．
（1）如圖1，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求點D的坐標；
（2）如圖2，在OA、OC邊上選取適當?shù)狞cM、N，將△MON沿MN折疊，使O點落在AB邊上的F點，過F作G∥y軸交MN于點T，交OC于點G，求證：TG=AM；
（3）在（2）的條件下，設T（x，y），探究y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，當x=3時，點Q在坐標軸上，直線MN上存在點P，使以M、F、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出Q點坐標．

Answer 1

分析 （1）在Rt△DBC中，根據(jù)DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$，即可解決問題．
（2）只要證明OM=MF，MF=FT即可．
（3）如圖3中，連接OT，在Rt△OTG中利用勾股定理即可解決問題．
（4）分MF為對角線，MF為邊兩種情形討論即可．

解答 解：（1）如圖1中，

∵|OA-5|+（OC-13）²=0，
又∵|OA-5|≥0，（OC-13）²≥0，
∴OA=5，OC=13，
∵△DEC是由△OEC翻折得到，
∴CD=OC=13，
在Rt△DBC中，DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∴AD=1，
∴點D坐標（1，5）．

（2）如圖2中，

∵MF=MO，∠FMN=∠OMN，
∵OM∥ET，
∴∠OMT=∠FTM，
∴∠FMT=∠FTM，
∴FM=FT，
∴OM=FT，∵OA=FG，
∴AM=TG．

（3）如圖3中，連接OT，

由（2）可得OT=FT，
由勾股定理可得x²+y²=（5-y）²，
得y=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{5}{2}$．
結合（1）可得AF=OG=1時，x最小，從而x≥1，
當MN恰好平分∠OAB時，AF最大即x最大，
此時G點與N點重合，四邊形AONF為正方形，
故x最大為5．
從而x≤5，1≤x≤5．

（4）如圖4中，x=3時，y=$\frac{8}{5}$，即點T坐標（3，$\frac{8}{5}$）．

∴OM=FT=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$，
①當MF為對角線時，點Q與T重合，PM=FT=$\frac{17}{5}$，
∴OP=$\frac{34}{5}$，
∴此時點P坐標（0，$\frac{34}{5}$）．
②FM為邊時，∵四邊形MFQP是平行四邊形，
又∵四邊形FMOT是平行四邊形，
∴點Q與T重合，點P與點O重合，
∴點P坐標（0，0），
綜上所述，以M、F、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，點Q坐標（0，0）或（0，$\frac{34}{5}$）．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、翻折變換、勾股定理、平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會用分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．