如圖,AD⊥AB,BC⊥AB,且AD=2,BC=3,AB=12,P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,PC

(1)設(shè)AP=x,用二次根式表示線段PD,PC的長(zhǎng);
(2)設(shè)y=PD+PC,求當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),y的最小值;
(3)利用(2)的結(jié)論,試求代數(shù)式
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值.
分析:(1)根據(jù)勾股定理即可用二次根式表示線段PD,PC的長(zhǎng);
(2)作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接CD′,根據(jù)勾股定理求出CD′的長(zhǎng),即為y的最小值;
(3)根據(jù)勾股定理構(gòu)造出圖形,利用兩點(diǎn)之間線段最短的方法即可求出代數(shù)式的最小值.
解答:解:(1)在直角△ADP中,∵∠A=90°,AD=2,AP=x,
∴PD=
AD2+AP2
=
4+x2

在直角△BCP中,∵∠B=90°,AD=3,PB=AB-AP=12-x,
∴PC=
PB2+BC2
=
(12-x)2+9
;

(2)如右圖.作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接CD′,交AB于P,則PD′=PD,CD′=PD′+PC=PD+PC,即為y的最小值.
過(guò)D′作AB的平行線,交CB的延長(zhǎng)線于E.
在△CED′中,∠E=90°,D′E=AB=12,CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5,
由勾股定理,得CD′=
D′E2+CE2
=13,
故y的最小值為13;

(3)如右圖.構(gòu)造圖形,AB=24,AD⊥AB,AD=3,BC=4,PA=x,PB=24-x,
PD=
x2+9
,PC=
(24-x)2+16
,
由對(duì)稱性可知,PC+PD的最小值為PC+PD′=CD′=
D′E2+CE2
=
242+(4+3)2
=25.
故代數(shù)式
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值為25.
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理,軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,構(gòu)造出圖形利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵.
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