Question

如圖1：在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∠BAE=∠FAE．
（1）指出線段AF、BC、FC之間有什么關(guān)系，證明你的結(jié)論．
（2）設(shè)AB=12，求線段FC的長．
（3）如圖2：過AE中點(diǎn)G的直線分別交AB、CD于P、Q；求

PG

QG

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）過E作EM⊥AF交AF于點(diǎn)M，則可證明△ABE≌△AME，△EMF≌△ECF，可得出結(jié)論；
（2）設(shè)FC=x，借助（1）的結(jié)論可得出AF=12+x，DF=12-x，在Rt△ADF中由勾股定理得出方程求解即可；
（3）過G作BC的平行線RS，由條件可得出RG=

1

4

BC，SG=

3

4

BC，再由平行線分線段成比例可求出

PG

QG

的值．

解答：解：（1）AF=BC+FC，證明如下：
如圖1，過E作EM⊥AF交AF于點(diǎn)M，

∵∠BAE=∠FAE，
∴BE=ME，
在Rt△ABE和Rt△AME中，

AE=AE BE=ME

，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴AM=AB=BC，ME=BE=EC，
在Rt△MFE和Rt△CFE中，

EF=EF ME=CE

，
∴Rt△MFE≌Rt△CFE（HL），
∴MF=FC，
∴AF=AM+MF=BC+FC；
（2）設(shè)FC=x，由（1）可知MF=x，AM=AD=AB=12，則DF=12-x，AF=12+x，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得：AD²+DF²=AF²，
即12²+（12-x）²=（12+x）²，解得x=3，
即FC=3；
（3）如圖2，過G作RS∥BC，交AB于點(diǎn)R，交CD于點(diǎn)S，

∵G為AE中點(diǎn)，
∴R為AB中點(diǎn)，
∴RG=

1

2

BE=

1

4

BC，GS=RS-RG=BC-RG=BC-

1

4

BC=

3

4

BC，
∵AB∥CD，
∴

PG

QG

=

RG

SG

=

1 4 BC

3 4 BC

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用，在（1）中構(gòu)造三角形全等找到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中過G作平行線把

PG

QG

的值轉(zhuǎn)化成

RG

SG

是解題的關(guān)鍵．