Question

如果二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn)，PQ：QR=1：3，則這個二次函數(shù)解析式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），利用頂點(diǎn)法設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x-2）²+4．根據(jù)直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn)，則可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與PQ：QR=1：3求得|x₂|與|x₁|的比值．直線y=x+4與拋物線相交于Q、R兩點(diǎn)列出方程a（x-2）²+4=x+4，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求出x₁、x₂、a的值．因此拋物線即可確定．

解答：解：∵圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），
∴所以二次函數(shù)解析式為y=a（x-2）²+4      ①，
∵直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點(diǎn)，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則y₁=x₁+4，y₂=x₂+4，
∵|PQ|=

(x1-0)2+(y1-4)2

=

x12+x12

=

2

|x₁|，
|PR|=

(x22-0)2+(y2-4)2

=

x22+x22

=

2

|x₂|，
∵PQ：QR=1：3且P在QR之處，
∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4，

2

|x₁|：

2

|x₂|=1：4，
∴|x₂|=4|x₁|②，
又x₁，x₂是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴a（x-2）²+4=x+4，即ax²-（4a+1）x+4a=0，
∴a（x²-

4a+1

a

x+4）=0，
由韋達(dá)定理，

x1•x2=4 ; ; ;③ x1+x2= 4a+1 a ; ; ; ;④

，
由③得，x₁、x₂同號，再由②得      x₂=4x₁，
∴x₁=±1，x₂=±4，從④得a=1，或a=-

1

9

∴y=x²-4x+8或y=-

1

9

x²+

4

9

x+

32

9

，
故答案為：y=x²-4x+8或y=-

1

9

x²+

4

9

x+

32

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．