Question

小劉同學(xué)在課外活動(dòng)中觀察吊車的工作過(guò)程，繪制了如圖所示的平面圖形．已知吊車吊臂的支點(diǎn)O距離地面的高OO′=2米．OA=10米，當(dāng)?shù)醣垌敹擞葾點(diǎn)抬升至A′點(diǎn)（吊臂長(zhǎng)度不變）時(shí)，地面B處的重物（大小忽略不計(jì)）被吊至B′處，緊繃著的吊纜A′B′=AB．且cosA=

3

5

，sinA′=

1

2

．
（1）求此重物在水平方向移動(dòng)的距離及在豎直方向移動(dòng)的距離；
（2）若這臺(tái)吊車工作時(shí)吊桿最大水平旋轉(zhuǎn)角度為120°，吊桿與水平線的傾角可以從30°轉(zhuǎn)到60°，求吊車工作時(shí)，工作人員不能站立的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，交A′C于點(diǎn)E，則得出EC=DB=OO′=2，ED=BC，通過(guò)解直角三角形AOD和A′OE得出OD與OE，從而求出BC；先解直角三角形A′OE，得出A′E，然后求出B′C；
（2）吊桿端點(diǎn)A最遠(yuǎn)水平距離為吊桿與水平線的傾角為30°時(shí)，所以代入數(shù)值求解直角三角形即可求出OD的長(zhǎng)，即吊車工作時(shí)工作人員不能站立的區(qū)域的半徑，由圓的面積的公式即可去求出區(qū)域面積．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，交A′C于點(diǎn)E
根據(jù)題意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC
∴∠A′ED=∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，∵cosA=

AD

OA

=

3

5

，
OA=10，
∴AD=6，
∴OD=8，在Rt△A′OE中，
∵sinA′=

OE

OA′

=

1

2

OA′=10
∴OE=5．
∴BC=ED=OD-OE=8-5=3．
在Rt△A′OE中，
A′E=

A′O 2-OE2

，
∴B′C=A′C-A′B′
=A′E+CE-AB，
=A′E+CE-（AD+BD）
=5

3

+2-（6+2）
=5

3

-6
答：此重物在水平方向移動(dòng)的距離BC是3米，此重物在豎直方向移動(dòng)的距離B′C是（5

3

-6）米；
（2）當(dāng)水平距離為吊桿與水平線的傾角為30°時(shí)，即吊車工作時(shí)工作人員不能站立的區(qū)域的半徑，
在Rt△AOD中，OD=OA•cos30°=10×cos30°=5

3

，
∵這臺(tái)吊車工作時(shí)吊桿最大水平旋轉(zhuǎn)角度為120°，
∴工作人員不能站立的區(qū)域的面積為：

120

360

×π×（5

3

）²=25π平方米

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題來(lái)解決，本題運(yùn)用了直角三角形函數(shù)及勾股定理．