Question

如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D．
（1）求AD的長；
（2）求cosA的值（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),黃金分割,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：（1）求出AD=BD=BC，證△ABC∽△BDC，推出

BC

CD

=

AC

BC

，求出BC²=AD²=AC×（AC-AD），求出AD=

5 -1

2

AC，代入求出即可；
（2）如圖，過點D作DE⊥AB于點E．由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)得到：AE=

1

2

AB=

1

2

，則根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得到：cosA=

AE

AD

，將相關(guān)線段的長度代入求值即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=

1

2

（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
∴BC²=AC×CD，
∵AD=BD=BC，
∴AD²=AC×CD=AC×（AC-AD），
解關(guān)于AD的方程得：AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

，即AD=

5 -1

2

；

（2）如圖，過點D作DE⊥AB于點E．
由（1）知，AD=BD，則AE=

1

2

AB=

1

2

，
∴cosA=

AE

AD

，即

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

，
∴cosA的值是

5 +1

4

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，角平分線定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，黃金分割等知識點的綜合運用．