Question

【題目】如圖，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)B，D不重合)，過(guò)點(diǎn)E作直線GH∥BC，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，EF⊥AE，交CD(或CD的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)F.

(1)如圖①，求證：△AGE≌△EHF.

(2)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中(如圖①，②)，四邊形AFHG的面積是否會(huì)發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形AFHG的面積不會(huì)發(fā)生變化，都是；理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，且GH∥BC可證明AGHD是矩形，∠AGE=∠EHF=90°，AG=DH，△GBE是等腰直角三角形，可得DH=HE，即可證明AG=EH，利用EF⊥AE及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得∠AEG=∠EFH，根據(jù)AAS即可證明△AGE≌△EHF；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BD的中點(diǎn)時(shí)，可得四邊形AFHG是矩形，可得S四邊形AFHG=；②當(dāng)點(diǎn)E不在BD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、D不重合）的過(guò)程中，四邊形AFHG是直角梯形，由（1）知，△AGE≌△EHF，圖②時(shí)，同（1）的證明方法可得△AGE≌△EHF，S四邊形AFHG=（FH+AG）GH=，然后即可得出結(jié)論．

(1)∵四邊形ABCD是正方形，GH∥BC,

∴AGHD是矩形，

∴∠AGE=∠EHF=90°，AG=DH，

∵BD是對(duì)角線，

∴∠HDE=45°，

∴△EHD是等腰直角三角形，

∴DH=HE，

∴AG=EH.

∵EF⊥AE，

∴∠AEG+∠FEH=90°.

∵∠EFH+∠FEH=90°，

∴∠AEG=∠EFH.

在△AGE和△EHF中，，

∴△AGE≌△EHF(AAS).

(2)四邊形AFHG的面積不會(huì)發(fā)生變化.

理由：①當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BD的中點(diǎn)時(shí)，F與D重合，

∴四邊形AFHG是矩形，

∵E為BD中點(diǎn)，GH//BC，

∴DH=CD=，

∴S四邊形AFHG=，

②當(dāng)E不在BD的中點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)B、D不重合)過(guò)程中，四邊形AFHG是直角梯形.

由(1)知圖①中△AGE≌△EHF，

如圖②，∵ABCD是正方形，GH//BC，

∴AGHD是矩形，

∴AG=HD，∠AGE=∠EHF=90°，

∵E在對(duì)角線BD上，

∴∠EDH=45°，

∴△EDH是等腰直角三角形，

∴EH=HD，

∴AG=EH，

∵EF⊥AE，

∴∠AEG+∠FEH=90°，

∵∠F+∠FEH=90°，

∴∠AEG=∠F，

在△AGE和△EHF中，，

∴△AGE≌△EHF(AAS).

∴FH=EG=BG，

∴FH+AG=BG+AG=AB=1.

∴S四邊形AFHG=(FH+AG)·GH=.

綜上所述，四邊形AFHG的面積不會(huì)發(fā)生變化，都是.