Question

正三角形的內(nèi)切圓的面積與外接圓的面積之比是（ ）
A．1：5
B．1：4
C．1：3
D．1：2

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題意作圖，易得點(diǎn)O即是△ABC的外心，又是⊙O的內(nèi)心，且外接圓的半徑為OB，內(nèi)接圓的半徑為OD，AD⊥BC，然后由直角三角形的性質(zhì)，得到OD=OB，繼而求得答案．
解答：解：如圖，△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，連OB，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴點(diǎn)O即是△ABC的外心，又是⊙O的內(nèi)心，且外接圓的半徑為OB，內(nèi)接圓的半徑為OD，AD⊥BC，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBD中，OD=OB，
∴正三角形的內(nèi)切圓的面積與外接圓的面積之比是：πOD²：πOB²=1：4．
故選B．
點(diǎn)評：此題考查了三角形的內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．