Question

如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價(jià)分別為每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板邊長為2米，F(xiàn)C=1米，則一塊木板用墻紙的費(fèi)用需

 

元；
探究2：如果木板邊長為1米，求一塊木板需用墻紙的最省費(fèi)用；
探究3：設(shè)木板的邊長為a（a為整數(shù)），當(dāng)正方形EFCG的邊長為多少時(shí)？墻紙費(fèi)用最省；如要用這樣的多塊木板貼一堵墻（7×3平方米）進(jìn)行裝飾，要求每塊木板A型的墻紙不超過1平方米，且盡量不浪費(fèi)材料，則需要這樣的木板

 

塊．

Answer 1

分析：（1）CF=1，BC=2，得到BF=1，然后分別計(jì)算出S_△ABE=

1

2

•2•1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，再乘以它們的單價(jià)即可得到一塊木板用墻紙的費(fèi)用；
（2）設(shè)FC=xm，則BF=（1-x）m，總費(fèi)用為y元，再計(jì)算S_△ABE=

1

2

•（1-x）•1=

1

2

（1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1-

1

2

（1-x）-x²=-x²+

1

2

x+

1

2

，然后乘以它們的單價(jià)即可得到一塊木板用墻紙的費(fèi)用，最后利用二次函數(shù)的最值問題求出
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y_最小=55元．
（3）同（2）一樣，設(shè)FC=xm，則BF=（a-x）m，總費(fèi)用為y元，得到y(tǒng)=20x²-20ax+60a²，當(dāng)x=

1

2

a時(shí)，y有最小值，即墻紙費(fèi)用最�。划�(dāng)x≤1，則

1

2

a≤1，得a≤2，而a為整數(shù)，得到a=1或2，然后比較費(fèi)用，最后得到需要這樣的木塊21塊．

解答：解：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=

1

2

•2•1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一塊木板用墻紙的費(fèi)用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；
故答案為220．

（2）設(shè)FC=xm，則BF=（1-x）m，總費(fèi)用為y元，
∴S_△ABE=

1

2

•（1-x）•1=

1

2

（1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1-

1

2

（1-x）-x²=-x²+

1

2

x+

1

2

，
∴y=

1

2

（1-x）×80+x²•60+（-x²+

1

2

x+

1

2

）•40
=20x²-20x+60 
=20（x-

1

2

）²+55，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y_最小=55元．
所以這塊木板需用墻紙的最省費(fèi)用為55元；

（3）設(shè)FC=xm，則BF=（a-x）m，總費(fèi)用為y元，
∴S_△ABE=

1

2

•（a-x）•a=

1

2

（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-

1

2

（a²-ax）-x²=-x²+

1

2

ax+

1

2

a²，
∴y=

1

2

（a²-ax）×80+x²•60+（-x²+

1

2

ax+

1

2

a²）•40
=20x²-20ax+60a²
∴當(dāng)x=

1

2

a時(shí)，y有最小值，即墻紙費(fèi)用最�。�
當(dāng)x≤1，則

1

2

a≤1，得a≤2，而a為正整數(shù)，得到a=1或2，
當(dāng)a=1，費(fèi)用為21×55=1155；當(dāng)a=2，墻紙無法用盡（舍去），
所以a=1，用21塊．
故答案為21．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，特別是二次函數(shù)的最值問題解決實(shí)際中的最大或最小值問題．