【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,其中B(6,0),與y軸交于點C(0,8),點P是x軸上方的拋物線上一動點(不與點C重合).

(1)求拋物線的表達式;
(2)過點P作PD⊥x軸于點D,交直線BC于點E,點E關(guān)于直線PC的對稱點為E′,若點E′落在y軸上(不與點C重合),請判斷以P,C,E,E′為頂點的四邊形的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的條件下直接寫出點P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:把點C(0,8),B(6,0)代入在拋物線y=﹣ x2+bx+c得 ,解得 ,

所以拋物線的表達式為y=﹣ x2+ x+8


(2)

解:以P,C,E,E′為頂點的四邊形為菱形.理由如下:

∵E點和E′點關(guān)于直線PC對稱,

∴∠E′CP=∠ECP,E′C=CE,E′P=EP,

又∵PD⊥x軸,

∴PE∥E′C,

∴∠EPC=∠E′CP,

∴∠EPC=∠ECP,

∴EP=EC,

∴EC=EP=PE′=E′C,

∴四邊形EPE′C為菱形


(3)

解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,

把B(6,0),C(0,8)代入得 ,解得 ,

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+8;

設(shè)P(x,﹣ x2+ x+8),則E(x,﹣ x+8),

∴PE=﹣ x2+ x+8﹣(﹣ x+8)=﹣ x2+4x,

過點E作EF⊥y軸于點F,如圖,

在Rt△OBC中,BC= =10,

∵EF∥OB,

∴△CFE∽△COB,

= ,即 = ,

∴CE= x,

∵EC=EP,

∴﹣ x2+4x= x,

整理得2x2﹣7x=0,解得x1=0(舍去),x2=

∴點P的坐標(biāo)為( , ).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;(2)利用對稱的性質(zhì)得∠E′CP=∠ECP,E′C=CE,E′P=EP,由PE∥E′C得∠EPC=∠E′CP,則∠EPC=∠ECP,于是可判斷EP=EC,所以EC=EP=PE′=E′C,則根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形EPE′C為菱形;(3)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+8,根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,設(shè)P(x,﹣ x2+ x+8),則E(x,﹣ x+8),則可計算出PE=﹣ x2+ x+8﹣(﹣ x+8)=﹣ x2+4x,過點E作EF⊥y軸于點F,如圖,證明△CFE∽△COB,利用相似比可計算出CE= x,則可利用EC=EP得到方程﹣ x2+4x= x,然后解方程求出x即可得到P點坐標(biāo).
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知 m≥2,n≥2,且 m、n 均為正整數(shù),如果將 mn 進行如圖所示的分解,那么下列四個敘述中正確的有(

①在 25 分解結(jié)果是 1517兩個數(shù)

②在 42 分解結(jié)果中最大的數(shù)是9.

③若 m3 分解結(jié)果中最小的數(shù)是 23,則 m=5.

④若 3n 分解結(jié)果中最小的數(shù)是 79,則 n=5.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題呈現(xiàn):如圖1,點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求證:2S四邊形EFGH=S矩形ABCD(S表示面積)

實驗探究:某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn):若圖1AH≠BF,點GCD上移動時,上述結(jié)論會發(fā)生變化,分別過點E、GBC邊的平行線,再分別過點F、HAB邊的平行線,四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1

如圖2,當(dāng)AH>BF時,若將點G向點C靠近(DG>AE),經(jīng)過探索,發(fā)現(xiàn):2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+

如圖3,當(dāng)AH>BF時,若將點G向點D靠近(DG<AE),請?zhí)剿?/span>S四邊形EFGH、S矩形ABCD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

遷移應(yīng)用:

請直接應(yīng)用實驗探究中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題:

如圖4,點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點,已知AH>BF,AE>DG,S四邊形EFGH=11,HF=,求EG的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD2=AEAC.求證:
(1)△BCD∽△CDE;
(2)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,Bx軸上,四邊形OACB為平行四邊形,且

AOB=60°,反比例函數(shù)k>0)在第一象限內(nèi)過點A,且與BC交于點F。當(dāng)FBC的中點,且SAOF=12 時,OA的長為____.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)開展“綠化家鄉(xiāng)、植樹造林”活動,為了解全校植樹情況,對該校甲、乙、丙、丁四個班級植樹的棵樹和所占百分比情況進行了調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,完成下列問題:

(1)這四個班共植樹  棵;

(2)請補全兩幅統(tǒng)計圖;

(3)若四個班級植樹的平均成活率是95%,全校共植樹2000棵,請你估計全校種植的樹中成活的樹大約有多少棵?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,已知點A(﹣2,0),點B(0,﹣4),AD與y軸交于點E,且E為AD的中點,雙曲線y= 經(jīng)過C,D兩點且D(a,8)、C(4,b).

(1)求a、b、k的值;

(2)如圖2,點P在雙曲線y= 上,點Q在x軸上,若以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形,試直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A﹣2,3),B﹣6,0),C﹣1,0).

1)請直接寫出點B關(guān)于點A對稱的點的坐標(biāo);

2)將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出圖形,直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標(biāo);

3)請直接寫出:以A、BC為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸相交于點C,連結(jié)BC,點P為拋物線上一動點,過點P作x軸的垂線l,交直線BC于點G,交x軸于點E.
(1)求拋物線的表達式;
(2)當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運動時,過點C作CF⊥直線l,F(xiàn)為垂足,當(dāng)點P運動到何處時,以P,C,F(xiàn)為頂點的三角形與△OBC相似?并求出此時點P的坐標(biāo);

(3)如圖2,當(dāng)點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時,連結(jié)PC,PB,請問△PBC的面積S能否取得最大值?若能,請求出最大面積S,并求出此時點P的坐標(biāo),若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案