Question

你能比較兩個數(shù)2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小嗎？為了解決這個問題，先把問題一般化，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪≥1且n為整數(shù)）：然后從分析n=1，n=2，n=3…這些簡單的情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納、總結(jié)，最后猜想出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組數(shù)的大小（在橫線處填上“＞”、“=”或“＜”）：
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；④4⁵

 

5⁴；
⑤5⁶

 

6⁵；⑥6⁷

 

7⁶；⑦7⁸

 

8⁷…
（2）由第（1）小題的結(jié)果歸納、猜想nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關(guān)系．
（3）根據(jù)第（2）小題得到的一般結(jié)論，可以得到2010²⁰¹¹

 

2011²⁰¹⁰（填“＞”、“=”或“＜”）．

Answer 1

考點(diǎn)：冪的乘方與積的乘方

專題：閱讀型,規(guī)律型

分析：（1）先通過計算比較（1）中的數(shù)據(jù)大�。�
（2）從（1）中通過歸納可以得出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是當(dāng)n=1或n=2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當(dāng)n≥3時，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）直接利用（2）中結(jié)論得出（3）中的答案即可．

解答：解：（1）①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6 ⁵⑥6⁷＞7⁶；⑦7⁸＞8⁷；
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞，＞，＞；

（2）由（1）可知，當(dāng)n=1、2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當(dāng)n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2010＞3，2011＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案為：＞．

點(diǎn)評：本題考查的是冪的乘方與積的乘方，解題關(guān)鍵是會從材料中找到數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并利用數(shù)據(jù)之間的規(guī)律總結(jié)出一般結(jié)論，然后利用結(jié)論直接進(jìn)行解題．