Question

（2012•咸寧）對(duì)于二次函數(shù)y=x²-2mx-3，有下列說(shuō)法：
①它的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②如果當(dāng)x≤1時(shí)y隨x的增大而減小，則m=1；
③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，則m=-1；
④如果當(dāng)x=4時(shí)的函數(shù)值與x=2008時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=2012時(shí)的函數(shù)值為-3．
其中正確的說(shuō)法是

①④

．（把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系解答；
②找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再判斷函數(shù)的增減性；
③將m=-1代入解析式，求出和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷；
④根據(jù)坐標(biāo)的對(duì)稱性，求出m的值，得到函數(shù)解析式，將m=2012代入解析式即可．

解答：解：①∵△=4m²-4×（-3）=4m²+12＞0，∴它的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確；
②∵當(dāng)x≤1時(shí)y隨x的增大而減小，∴函數(shù)的對(duì)稱軸x=-

-2m

2

≥1在直線x=1的右側(cè)（包括與直線x=1重合），則-

-2m

2

≥1，即m≥1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③將m=-1代入解析式，得y=x²+2x-3，當(dāng)y=0時(shí)，得x²+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x₁=1，x₂=-3，將圖象向左平移3個(gè)單位后不過(guò)原點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④∵當(dāng)x=4時(shí)的函數(shù)值與x=2008時(shí)的函數(shù)值相等，∴對(duì)稱軸為x=

4+2008

2

=1006，則-

-2m

2

=1006，m=1006，原函數(shù)可化為y=x²-2012x-3，當(dāng)x=2012時(shí)，y=2012²-2012×2012-3=-3，故本選項(xiàng)正確．
故答案為①④（多填、少填或錯(cuò)填均不給分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與幾何變換、拋物線與x軸的交點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)了二次函數(shù)的特點(diǎn)．