Question

【題目】已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立。

(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí),請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量、觀察,猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系?(直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明)；

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中猜想的結(jié)論是否成立?如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)你利用圖(3)畫(huà)出滿足條件的圖形,并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系?(直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明)

Answer 1

【答案】（1）①PE=PB，②PE⊥PB；（2）成立，理由見(jiàn)解析（3）①PE=PB，②PE⊥PB.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理可證△PDC△PBC，推出PB=PD=PE，∠PDE=180°∠PBC=∠PED，求出∠PEC+∠PBC=180°，求出∠EPB的度數(shù)即可

（2）證明方法同（1），可得PE=PB，PE⊥PB

（3）證明方法同（1），可得PE=PB，PE⊥PB

(1)①PE=PB，②PE⊥PB.

(2)(1)中的結(jié)論成立。

①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，

∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，

又PC=PC，

∴△PDC≌△PBC，

∴PD=PB，

∵PE=PD，

∴PE=PB，

②：由①,得△PDC≌△PBC，

∴∠PDC=∠PBC.

又∵PE=PD，

∴∠PDE=∠PED.

∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，

∴∠EPB=360°(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90°，

∴PE⊥PB.

(3)如圖所示：

結(jié)論：①PE=PB，②PE⊥PB.