Question

（2009•湘西州）在直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，其中A在B的左側(cè)，B的坐標(biāo)是（3，0）．將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C．
（1）求k的值；
（2）求直線BC和拋物線的解析式；
（3）求△ABC的面積；
（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位后，直線的解析式為y=kx+3，由于這條直線過B、C兩點(diǎn)，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），將B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式后即可求出k的值．
（2）直線BC的解析式在（1）中已求得．根據(jù)拋物線過B、C兩點(diǎn)，那么可將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）中得出的拋物線的解析式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，那么△ABC底邊AB的長就能求出來了．而△ABC的高OC可根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)得出，因此根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式可得出△ABC的面積．
（4）根據(jù)（2）得出的拋物線的解析式可求出拋物線的對稱軸的解析式．如果設(shè)拋物線交BC于E，交x軸于F點(diǎn)．根據(jù)對稱軸的解析式與BC所在直線的解析式不難得出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），此時AF=FE=FB，如果連接AE，那么三角形AEB就是個等腰直角三角形．于是三角形AEC也是直角三角形，那么∠ACE和∠APF的正切值就應(yīng)該相等（已知∠ACE=∠APD），那么可得出的等量關(guān)系為AE：CE=AF：PF，據(jù)此可求出PF的長，也就能得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）直線y=kx沿y軸向上平移3個單位后，過兩點(diǎn)B，C
從而可設(shè)直線BC的方程為y=kx+3
令x=0，得C（0，3）
又B（3，0）在直線上，
∴0=3k+3
∴k=-1．

（2）由（1），直線BC的方程為y=-x+3
又拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)B，C
∴
解得
∴拋物線方程為y=x²-4x+3．

（3）由（2），令x²-4x+3=0
得x₁=1，x₂=3
即A（1，0），B（3，0），而C（0，3）
∴△ABC的面積S_△ABC=（3-1）•3=3平方單位．

（4）由（2），D（2，-1），設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于E，可得E（2，1），
連接AE．
∵AF=FB=FE=1
∴AE⊥CE，且AE=，CE=2
（或先作垂線AE⊥BC，再計(jì)算也可）
在Rt△AFP與Rt△AEC中，
∵∠ACE=∠APE（已知），
∴即=，
∴PF=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）．
點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)的圖象的平移以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．對待一次函數(shù)的平移，只要記住并理解“左加右減，上加下減”即可作出正確的解答．