Question

如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=10，BC=5，在CD上是否存在點(diǎn)P，使∠APB=90°？試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),根的判別式,圓周角定理

專題：

分析：如圖，證明∠DAP=∠BPC，結(jié)合∠D=∠C，得到△ADP∽△PCB；列出比例式

DP

BC

=

AD

PC

，求出DP即可解決問(wèn)題．

解答：解：存在點(diǎn)P，使∠APB=90°；理由如下：
如圖，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，DC=AB=10；
設(shè)DP=λ，則PC=10-λ；
∵∠APB=90°，
∴∠APD+∠DAP=∠APD+∠BPC，
∴∠DAP=∠BPC，而∠D=∠C，
∴△ADP∽△PCB，
∴

DP

BC

=

AD

PC

，即

λ

5

=

5

10-λ

，
解得：λ=5，
即當(dāng)DP=5時(shí)，∠APB=90°．

點(diǎn)評(píng)：該題是一道條件探究型命題；以考查相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)．