Question

【題目】如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°至CE，連接AE．

（1）連接ED，若CD=3，AE=4，求AB的長；

（2）如圖2，若點F為AD的中點，連接EB、CF，求證：CF⊥EB．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)，得出△BCD≌△ACE，進而得到AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，∠EAD=90°，再根據(jù)CD2+EC2=DE2=AE2+AD2,即可得到AD的長，進而求出AB的長；

（2）如圖2，過C作CG⊥AB于G，則AG=BG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)點F是AD的中點，可得到，再根據(jù)，∠CGF=∠BAE=90°，即可判定△CGF∽△BAE，進而得到∠FCG=∠ABE，依據(jù)∠ABE+∠CFG=90°，可得CF⊥BE．

（1）如圖1，由旋轉可得：EC=DC=3，∠ECD=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，

∴∠EAD=90°，

∴DE==3，

∴AD===，

∴AB=AD+BD= +4．

（2）如圖2，過C作CG⊥AB于G，則AG=AB，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴CG=AB，即．

∵點F為AD的中點，

∴FA=AD，

∴FG=AG﹣AF=AB﹣AD=（AB﹣AD）=BD，

由（1）可得：BD=AE，

∴FG=AE，即，

∴，

又∵∠CGF=∠BAE=90°，

∴△CGF∽△BAE，

∴∠FCG=∠ABE．

∵∠FCG+∠CFG=90°，

∴∠ABE+∠CFG=90°，

∴CF⊥BE．