Question

如圖，點(diǎn)M在△ABC的BC邊上（不與頂點(diǎn)B、C重合），分別作MD⊥AB、ME⊥AC，垂足D、E分別在兩邊AB、AC上，△ABM與△ACM的面積相等，且△BDM與△CEM的面積相等．若BD=2、CE=1，試求點(diǎn)A到BC邊的距離．

Answer 1

解：由S_△ABM=S_△ACM知：BM=MC．記DM=x，ME=y，AD=z，AE=w．
由BM=MC及勾股定理得：2²+x²=BM²=MC²=1²+y²，
所以y²-x²=3．①
由S_△BDM=S_△CEM得：，
所以y=2x②
把②代入①得：4x²-x²=3，x²=1，
故x=1，y=2，
又由勾股定理得：x²+z²=AM²=y²+w²，1+z²=2²+w²，
即z²-w²=3③
由S_△ABM=S_△ACM得：，2+z=2+2w，
即z=2w④
把④代入③得：3w²=3，w²=1，故w=1，z=2，
從而，，
故點(diǎn)A到BC邊的距離=．
分析：分別設(shè)DM=x，ME=y，AD=z，AE=w，根據(jù)勾股定理求x、y的關(guān)系，并根據(jù)方程組求解x、y，同理即可求得z、w；根據(jù)△BDM與△CEM的面積相等的等量關(guān)系求解，根據(jù)面積法計(jì)算A到BC邊的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用，考查了在直角三角形中三角形面積計(jì)算，根據(jù)面積法求A到BC的距離是解本題的關(guān)鍵．