Question

如圖，正三角形ABC的中心O恰好為扇形DOE的圓心，且點B在扇形內(nèi)，要使扇形DOE繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動，△ABC與扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的，扇形的圓心角(∠DOE)應為多少度？說明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

解　　如圖． 　�、佼擮D過B點、OE過C點時，連結(jié)AO，則 　　△AOB≌△AOC≌△BOC， 　　從而　　∠BOC＝， 　　S△OBC＝S△ABC． 　　所以當扇形的圓心角為，且OD經(jīng)過點B，OE經(jīng)過點C時，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC面積的． 　　②當扇形轉(zhuǎn)到OD與AB交于點F，OE與BC交于點G時，連結(jié)OB、OC．因為O點是正三角形ABC的中心，所以 　　∠BOC＝，∠FBO＝∠GCO＝，BO＝CO． 　　只有當∠FOG＝∠BOC，使∠FOB＝∠COG時，才有 　　△FOB≌△GOC， 　　從而重疊部分OFBG的面積為△ABC的面積的． 　　所以應有　　∠DOE＝． 　　分析　　如上圖，可以先考慮特殊情況，當扇形轉(zhuǎn)至OD處于OB的位置時，由于O是正三角形的中心，連結(jié)OC，可知S△OBC＝S△ABC，此時∠BOC＝，所以當∠DOE＝∠BOC＝時，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC面積的；再考慮一般情況時，要說明△ABC與扇形重疊部分的面積為△ABC面積的，可轉(zhuǎn)化為特殊情況，所以只要證△OBF≌△OCG即可．