Question

某大型生活超市銷售一種進(jìn)口奶粉A，從去年1至7月，這種奶粉的進(jìn)價(jià)一路攀升，每罐A奶粉的進(jìn)價(jià)y₁與月份x（1≤x≤7，且x為整數(shù)），之間的函數(shù)關(guān)系式如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7
y1（元/千克）	230	240	250	260	270	280	290

隨著我國對(duì)一些國家進(jìn)出口關(guān)稅的調(diào)整，該奶粉的進(jìn)價(jià)漲勢(shì)趨緩，在8至12月份每罐奶粉A的進(jìn)價(jià)y₂與月份x（8≤x≤12，且x為整數(shù)）之間存在如下圖所示的變化趨勢(shì)．
（1）請(qǐng)觀察表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)分別直接寫出y₁與x和y₂與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若去年該奶粉的售價(jià)為每罐360元，且銷售該奶粉每月必須支出（除進(jìn)價(jià)外）的固定支出為4000元，已知該奶粉在1月至7月的銷量p₁（罐）與月份x滿足：p₁=30x+240；8月至12月的銷量p₂（罐）與月份x滿足：p₂=-30x+750；則該奶粉在第幾月銷售時(shí)，可使該月所獲得的利潤最大？并求出此時(shí)的最大利潤．
（3）今年1月到4月，受到國際方面因素的影響，該進(jìn)口奶粉的進(jìn)價(jià)進(jìn)行調(diào)整，每月進(jìn)價(jià)均比去年12月的進(jìn)價(jià)上漲15元，且每月的固定支出（除進(jìn)價(jià)外）增加了15%，已知該進(jìn)口奶粉的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高了m%（m＜100），與此同時(shí)每月的銷量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少了0.2m%，這樣銷售下去要使今年1至4月的總利潤為122000元，試求出m的值．（m取整數(shù)值）（參考數(shù)據(jù)：53²=2809，54²=2916，55²=3025，56²=3136）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)每月增加10千克可知y₁與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y₁=k₁x+b₁，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；設(shè)y₂=k₂x+b₂然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）設(shè)利潤為W元，然后分①當(dāng)1≤x≤7時(shí)，根據(jù)總利潤=每千克的利潤×銷量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；②當(dāng)8≤x≤12時(shí)，根據(jù)總利潤=每千克的利潤×銷量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值；
（3）根據(jù)4個(gè)月的總利潤=每罐的銷售利潤×銷售量-固定支出列出方程，然后設(shè)m%=t，換元后解一元二次方程即可得解．

解答：解：（1）設(shè)y₁=k₁x+b₁，
則

k1+b1=230 2k1+b1=240

，
解得

k1=10 b1=220

，
所以，y₁=10x+220，
設(shè)y₂=k₂x+b₂，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，295），（12，315），
∴

8k2+b2=295 12k2+b2=315

，
解得

k2=5 b2=255

，
所以，y₂=5x+255；

（2）設(shè)利潤為W元，
①當(dāng)1≤x≤7時(shí)，
W₁=（360-10x-220）•（30x+240）-4000=-300x²+1800x+29600，
∵-

b

2a

=-

1800

-600

=3，
∴當(dāng)x=3時(shí)，W₁有最大值，W_max=-300×3²+1800×3+29600=32300；
②當(dāng)8≤x≤12時(shí)，
W₂=（360-5x-255）（-30x+750）-4000，
=150x²-6900x+74750．
∵-

b

2a

=-

-6900

300

=23，x＜23，
∴W₂隨x增大而減小，
∴x=8時(shí)，W₂有最大值，W_max=29150；
∴在第3月時(shí)，可獲最大利潤32300；

（3）4×[360（1+m%）-（315+15）]•（-30×12+750）（1-0.2m%）-4×4000（1+15%）=122000，
令m%=t，原方程化為（1+12t）（1-

1

5

t）-3=0，
整理得，12t²-59t+10=0，
∴t=

59± 3001

24

≈

59±55

24

，
t₁=

4

24

≈16.7%，t₂=

114

24

=475%，
∴m₁≈17，m₂=475（舍去），
∴m=17．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，閱讀量較大，讀懂題目信息，理解利潤的表示并列出算式是解題的關(guān)鍵．