Question

如圖，直線y=

2

3

x+b與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0），與y軸相交于點(diǎn)B，C是x軸上的一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（3，0）．若M為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接MB，以點(diǎn)M為端點(diǎn)作射線MN交AB于點(diǎn)N，使∠BMN=∠BAC．
（1）求證：△MBC∽△NMA；
（2）是否存在點(diǎn)M使△MBN為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證得結(jié)論；
（2）當(dāng)∠NBM=90°時(shí)和當(dāng)∠EBM=90°時(shí)兩種情況進(jìn)行分類討論即可得到答案．

解答：解：（1）∵A（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
∴OA=OC
∴OB⊥AC
∴AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵∠BMN=∠BAC
∴∠BMN=∠BCA
∵AMN=∠CBM=∠BCA
∴∠AMN=∠BMA
∴△MBC∽△NMA；

（2）存在．
理由：Ⅰ、當(dāng)∠NBM=90°時(shí)，
∴△AOB∽△ABM，
∴

AM

AB

=

AB

AO

∵直線y=

2

3

x+b與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0）．
∴b=2，OA=3
∴OB=2
∴AB=

13

∴

AM

13

=

13

3

∴AM=

13

3

∴OM=AM-OA=

4

3

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

4

3

，0）；
Ⅱ、當(dāng)∠EBM=90°時(shí)，
∵∠BMN=∠BAC．
∴∠MBN=∠ABC，
∴此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）；
綜上所述：存在點(diǎn)M（

4

3

，0）或（0，0）使△MBN為直角三角形；

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是一次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．