Question

已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BA延長線上一點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于點(diǎn)H，連接BH．
（1）若DG=2，求DH的長；
（2）求證：BH+DH=

2

CH．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過證明△DGH是等腰直角三角形，得到DH=

2

DG=2

2

；
（2）如圖，過點(diǎn)C作CM⊥CH，交HD延長線于點(diǎn)M．構(gòu)建等腰直角△HCM和全等三角形△MCD≌△HCB，所以根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)推知MH=

2

CH，DM=BH．則BH+DH=MH=

2

CH．

解答：
（1）解：∵如圖，DF=DC，DG⊥CF，
∴∠FDG=

1

2

∠FDC．
∵DH平分∠ADE，
∴∠FDH=

1

2

∠ADF，
∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=

1

2

（∠FDC-∠ADF）=

1

2

∠ADC=45°．
∴△DGH是等腰直角三角形，
∵DG=2，
∴DH=2

2

；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥CH，交HD延長線于點(diǎn)M．
∵∠DCB=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
又∵△DGH是等腰直角三角形，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∴MC=CH．
∴MH=

2

CH．
∵在△MCD與△HCB中，

CD=CB ∠1=∠2 MC=HC

，
∴△MCD≌△HCB）SAS），
∴DM=BH．
∴BH+DH=DM+DH=MH=

2

CH．即BH+DH=

2

CH．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．