Question

（1）如圖1，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點E．求證：AC是⊙O的切線；
（2）如圖2，已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．求證：平行四邊形ADBE是矩形．

Answer 1

考點：切線的判定,矩形的判定

專題：證明題

分析：（1）連接OE，由BE是∠CBA的角平分線得∠ABE=∠CBE，由OE=OB得∠ABE=∠OEB，則∠OEB=∠CBE，所以O(shè)E∥BC，則∠OEC=∠C=90°，即OE⊥AC，根據(jù)切線的判定得到AC是⊙O的切線，；
（2）AB=AC，AD是BC的邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，則∠ADB=90°，然后根據(jù)矩形的判定方法得到平行四邊形ADBE是矩形．

解答：（1）證明：連接OE，如圖1，
∵BE是∠CBA的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE．
∵OE=OB，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC
∴∠OEC=∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線，；
（2）證明：如圖2，
∵AB=AC，AD是BC的邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
∵四邊形ADBE是平行四邊形，
∴平行四邊形ADBE是矩形．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了矩形的判定．