【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點,,與軸交于點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若點在拋物線的對稱軸上,求的周長的最小值;

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點,使是直角三角形?若存在,直接寫出點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2(2)ACD的周長的最小值是2+2(3)存在,點P的坐標(biāo)為(1,1)或(1,﹣3)

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)由軸對稱的最短路徑得:因為B與C關(guān)于對稱軸對稱,所以連接AB交對稱軸于點D,此時ACD的周長最小,利用勾股定理求其三邊相加即可;

(3)存在,當(dāng)A和C分別為直角頂點時,畫出直角三角形,設(shè)P(1,y),根據(jù)三角形相似列比例式可得P的坐標(biāo).

試題解析:(1)把點A(﹣2,0),B(2,2)代入拋物線y=ax2+bx+2中,

解得: ,

拋物線函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+2;

(2)y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+

對稱軸是:直線x=1,

如圖1,過B作BEx軸于E,

C(0,2),B(2,2),對稱軸是:x=1,

C與B關(guān)于x=1對稱,

CD=BD,

連接AB交對稱軸于點D,此時ACD的周長最小,

BE=2,AE=2+2=4,OC=2,OA=2,

AB==2

AC==2,

∴△ACD的周長=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2

答:ACD的周長的最小值是2+2,

(3)存在,

分兩種情況:

當(dāng)ACP=90°時,ACP是直角三角形,如圖2,

過P作PDy軸于D,

設(shè)P(1,y),

CGP∽△AOC,

,

=,

CG=1,

OG=2﹣1=1,

P(1,1);

當(dāng)CAP=90°時,ACP是直角三角形,如圖3,

設(shè)P(1,y),

PEA∽△AOC,

,

PE=3,

P(1,﹣3);

綜上所述,ACP是直角三角形時,點P的坐標(biāo)為(1,1)或(1,﹣3).

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