Question

以a，b，c為三邊的直角三角形的周長的數值與面積的數值相等，且a，b，c為自然數，求證：關于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數根．

Answer 1

考點：根的判別式,勾股定理

專題：證明題

分析：要證明關于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數根，只有證明△＜0即可．而△=（a+b+c）²-4abc，根據a，b，c為三邊的直角三角形的周長的數值與面積的數值相等（不妨設a，b為直角邊，c為斜邊），可以通過代數式變形得到abc=

1

4

a²b²-2ab，把△變?yōu)椋╝+b+c）²-4abc=

1

4

a²b²-4（

1

4

a²b²-2ab）=

1

4

ab（32-3ab），最后根據a，b，c為自然數，找到最小的直角邊即可證明△＜0．

解答：證明：∵x²-（a+b+c）x+abc是關于a，b，c的輪換對稱式，
∴不妨設a，b為直角邊，c為斜邊，
則根據題意有：a²+b²=c²，a+b+c=

1

2

ab，
∴a+b=

1

2

ab-c，兩邊平方得：a²+2ab+b²=

1

4

a²b²-abc+c²，
∴abc=

1

4

a²b²-2ab，
又∵△=（a+b+c）²-4abc=

1

4

a²b²-4（

1

4

a²b²-2ab）=

1

4

ab（32-3ab），
而a，b，c為自然數，
則a，b的最小值為3，4，即ab≥12，
∴32-3ab＜0，
即△＜0，
所以關于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了代數式的變形能力、勾股定理以及三角形的面積公式．