Question

【題目】（1）如圖1，點(diǎn)在上，請?jiān)趫D中用直尺（不含刻度）和圓規(guī)作等邊三角形，使得點(diǎn)、都在上．

（2）已知矩形中，，．

①如圖2，當(dāng)時(shí)，請?jiān)趫D中用直尺（不含刻度）和圓規(guī)作等邊三角形，使得點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上；

②若在該矩形中總能作出符合①中要求的等邊三角形，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②的取值范圍是．

【解析】

解：(1) 作直徑，以為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)、，連、、即可得到等邊三角形．

(2) ①連，在上任取一點(diǎn)，以為半徑作，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)、，連、并延長，交、于點(diǎn)、，連，則就是所要求作的．

②分兩種情況討論，運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理得到m的最大值和最小值即可；

解：（1）如圖1，作直徑，以為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)、，連、、，則就是所要求作的．

（2）①如圖2，連，在上任取一點(diǎn)，以為半徑作，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)、，連、并延長，交、于點(diǎn)、，連，則就是所要求作的．

②一開始E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，往C的方向運(yùn)動(dòng)，AF可以看成AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，因此F是往上運(yùn)動(dòng)的，但是AE一直在變長，如果BC的長度不變的話，AF就是變少。（但是要保持AE=AF）只能變長BC了。所以E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，往C的方向運(yùn)動(dòng)過程中，BC一直在變長。F最多只能到D點(diǎn)，因此F在D點(diǎn)處，BC就是最長了，因此得到如下的兩個(gè)臨界值：

如圖，當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)是臨界點(diǎn)的最小值，

∵△AFE是等邊三角形，

∴EF=AB=4，∠AEF=60°，

∴∠FEC=30°，

∴FC=2（直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

∴此時(shí)，

當(dāng)F點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)是臨界點(diǎn)的最大值，

∵△AFE是等邊三角形，

∴AD=AE，∠BAE=90°-60°=30°，

假設(shè)AD=AE=2x，

∴FC=x（直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

∴此時(shí)，

解得，

∴，

∴的取值范圍是．