【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10cm,BC=15cm,點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動;點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動.點P、Q分別從起點同時出發(fā),移動到某一位置時所需時間為t秒

當t = 4時,求線段PQ的長度

(2)當t為何值時,△PCQ是等腰三角形?

(3)當t為何值時,△PCQ的面積等于16cm2

(4)當t為何值時,△PCQ∽△ACB

【答案】見解析

【解析】試題分析:(1)由于點PA出發(fā)沿ACC點以1厘米/秒的速度勻速移動,點QC出發(fā)沿CBB點以2厘米/秒,而t=4,由此可以用t表示AP、PC、CQ的長度,然后利用勾股定理即可求出PQ的長度;

(2)PC=CQ,求t的值.

(3)首先用t分別表示CP,CQ的長度,然后利用三角形的面積公式即可列出關(guān)于t的方程,解方程即可解決問題;

(4)利用直角三角形的斜邊中點的性質(zhì)可以證明△ABC和△PCQ相似,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),求得t的值.

試題解析:

(1)當t=4時,
∵點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動,點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動,
∴AP=4cm,PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm,
∴PQ= =10cm;

(2)∵AP=t,PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t,

當PC=CQ時

10-t=2t

t=

(3)∵AP=t,PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t,

∴S△PQC=PC×CQ=t(10﹣t)=16,

∴t1=2,t2=8,當t=8時,CQ=2t=16>15,

∴舍去,

∴當t=2時,△PQC的面積等于16cm2;

(4)∵點OAB的中點,∠ACB=90°,
∴OA=OB=OC(直角三角形斜邊上中線定理),
∴∠A=∠OCA,
而∠OCA+∠QPC=90°,∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠QPC,又∠ACB=∠PCQ=90°,
∴△ABC∽△QPC,

∴t=2.5s.

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