Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，且點D是AB的中點，E為△ABC外一點，連接AE、DE，連接CE交AB于F，且∠CAD=∠CED．
（1）若AC=10，求CD的長；
（2）求證：CE=AE+DE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線定理即可解決．
（2）在CE上截取一點M使得AM=AE，先證明△AME是等邊三角形，再證明△ACM≌△ADE得CM=ED，由此即可證明．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，
∵AD=DB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×20=10．
（2）證明：在CE上截取一點M使得AM=AE．
∵AD=DB=CD，∠CAB=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠CAD=∠ADC=60°，
∵∠CAD=∠CED，AC=AD，
∴A、C、D、E四點共圓，
∴∠AEM=∠ADC=60°，
∵AM=AE，
∴△AME是等邊三角形，∠CAM=∠DAE，
∴∠MAE=60°=∠CAD，AM=AE=EM，
在△ACM和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAM=∠DAE}\\{AM=AE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△ADE，
∴CM=DE，
∴CE=CM+EM=AE+ED．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓的判定、以及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)A、C、D、E四點共圓，學會添加輔助線構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．