Question

17．已知正方形ABCD，點F為射線DB上一點，過點F作FE∥AD，F(xiàn)E交射線AB于E，G為FD的中點，連接CG，求證：∠CGE=90°．

Answer 1

分析 連接AG，過G作AD的平行線交AB于M，CD于N，則AM=DN，由正方形的性質(zhì)得出AG=CG，∠GDN=45°，證出GM∥AD∥EF，得出AM=EM，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AG=EG，得出EG=CG，證出△GDN是等腰直角三角形，得出GN=DN=AM=EM，由HL證明Rt△GME≌Rt△CNG，得出∠MGE=∠NCG，由角的互余關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AG，過G作AD的平行線交AB于M，CD于N，如圖所示：
則AM=DN，
∵正方形ABCD是軸對稱圖形，直線BD是對稱軸，A和C是對稱點，
∴AG=CG，∠GDN=45°，
∵EF∥AD，MN⊥AB，AB⊥AD，
∴GM∥AD∥EF，
∵G為FD的中點，
∴AM=EM，
∴AG=EG，
∴EG=CG，
∵∠GND=90°，∠GDN=45°，
∴△GDN是等腰直角三角形，
∴GN=DN=AM=EM，
在Rt△GME和Rt△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=CG}\\{EM=GN}\end{array}\right.$，
∴Rt△GME≌Rt△CNG（HL），
∴∠MGE=∠NCG，
∵∠NCG+∠CGN=90°，
∴∠MGE+∠CGN=90°，
∴∠CGE=180°-90°=90°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．