Question

如圖在平面直角坐標系中，已知直角梯形OABC的頂點分別是O（0，0），點A（9，0），B（6，4）．點P從點C沿C-B-A運動，速度為每秒2個單位，點Q從A向O點運動，速度為每秒1個單位，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．兩點同時出發(fā)，設(shè)運動的時間是t秒．
（1）點C的坐標是（

 

，

 

）；
（2）點P和點Q先到達終點是點

 

；到達終點時t的值是

 

秒；
（3）當點P在線段BC上運動時，是否存在符合題意的t的值，使線段PQ=5？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由；
（4）當點P在線段BC上運動時，是否存在符合題意的t的值，使直角梯形OABC被直線PQ分成的兩個部分面積之比為1：2？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)BC∥OA，即可求得C的坐標；
（2）求出BC，AB的長度，AQ的長度，即可求得從出發(fā)點到終點的時間；
（3）P從C到B所用的時間是：3秒，即可求得t的范圍，作PD⊥OA于點D，在直角△PDQ中利用勾股定理即可列方程求得t的值；
（4）首先求得梯形ABCO的面積，根據(jù)直角梯形ABCO被直線PQ分成的兩個部分面積之比為1：2，即可求得直角梯形QPCO的面積，利用時間t表示出直角梯形QPCO的面積，即可列方程求解．

解答：解：（1）C的坐標是（0，4）；
（2）AB=5，BC+BA=11，OA=9，

11

2

=5.5，
∴點P首先到達，到達的時間是5.5秒；
（3）P從C到B所用的時間是：

6

2

=3（秒），
在3秒內(nèi)，Q從A到（6，0），則P一定在Q的左邊．
設(shè)運動的時間是t秒，則CP=2t秒，AQ=t秒，
如圖1，作PD⊥OA于點D，則D的坐標是（2t，0），PD=OC=4，
DQ=OA-OD-AQ=9-2t-t=9-3t，
在直角△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，即16+（9-3t）²=25，
解得：t=2或4（舍去）．
故當t=2時，PQ=5；
（4）如圖2．
∵A（9，0），B（6，4），
∴BC=6，OA=9，CO=4，
∴S_{直角梯形ABCO}=

1

2

（BC+OA）•OC=

1

2

（6+9）×4=30，
設(shè)運動的時間是t秒，則CP=2t秒，AQ=t秒，則OQ=9-t，
則S_梯形QPCO=

1

2

（PC+OQ）•OC=

1

2

（2t+9-t）×4=2t+18．
當S_梯形QPCO=

1

3

S_{直角梯形ABCO}=

1

3

×30=10時，2t+18=10，
解得：t=-4（舍去）；
當S_梯形QPCO=

2

3

S_{直角梯形ABCO}=

2

3

×30=20時，2t+18=20，解得：t=1．
則當t=1時，直角梯形OABC被直線PQ分成的兩個部分面積之比為1：2．

點評：本題考查了直角梯形和列方程解應(yīng)用題，正確利用時間t表示出圖形中線段的長度以及梯形的面積是關(guān)鍵．