Question

如圖，一次函數(shù)y=-2x+t（t＞0）的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D．
（1）求點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x²+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)C，點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的△PCD與△OCD相似．求t的值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）令一次函數(shù)解析式中y=0，求出對(duì)應(yīng)x的值，確定出C的坐標(biāo)，令x=0，求出對(duì)應(yīng)y的值，確定出D的坐標(biāo)即可；
（2）由（1）得出的C與D的坐標(biāo)，求出OC及OD的長(zhǎng)，在直角三角形OCD中，利用勾股定理表示出CD，以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，過(guò)P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，如圖中紅線所示，以D為直角頂點(diǎn)的△PCD與△OCD相似，此時(shí)∠CDP=90°，分兩種情況考慮：當(dāng)PD：DC=OC：OD=1：2時(shí)，由表示出的DC得到PD的長(zhǎng)，根據(jù)P在二次函數(shù)圖象上，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x²+3x），表示出PM與MD，在直角三角形PMD中，利用勾股定理列出關(guān)系式，記作①，表示出CN，在直角三角形PCD與直角三角形PCN中，分別利用勾股定理表示出PC²，將各自的值代入得到關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②可得出t與x的值，進(jìn)而確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；若DC：PD=OC：OD=1：2時(shí)，如圖所示，同理可以求得t與x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意t的值及對(duì)應(yīng)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）對(duì)于一次函數(shù)y=-2x+t，
令y=0，求出x=，令x=0，求出y=t，
∴C坐標(biāo)為（，0），D坐標(biāo)為（0，t）；
（2）由（1）得：OD=t，OC=，
在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得：CD==，
以D為直角頂點(diǎn)的△PCD與△OCD相似，此時(shí)∠CDP=90°，
過(guò)P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，如圖中紅線所示：

若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=，
設(shè)P（x，-x²+3x），
∴PM=ON=x，PN=OM=-x²+3x，MD=-x²+3x-t，
在Rt△PMD中，根據(jù)勾股定理得：PD²=PM²+MD²，
∴（）²=x²+（-x²+3x-t）²，①
又CN=ON-OC=x-，
∴在Rt△PDC與Rt△PCN中，利用勾股定理得：PC²=PD²+CD²=PN²+CN²，
∴（）²+（）²=（-x²+3x）²+（x-）²，②
聯(lián)立①②解得：x=，t=1，
∴此時(shí)P坐標(biāo)為（，）；
若DC：PD=OC：OD=1：2時(shí)，如圖所示，同理可以求得t=1，P（2，2），
若以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，△PCD與△OCD相似，此時(shí)∠DCP=90°時(shí)，同理可得t=，P（，），
綜上，當(dāng)t=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的P坐標(biāo)為（，）或（2，2）或P（，）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題．