Question

如圖，直線y=-

1

2

x上有一點(diǎn)A，過A點(diǎn)平行于x軸的直線交雙曲線y=

k

x

（k≠0）于B點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，若∠COB=∠A，且AB²-OB²=4，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：由點(diǎn)A在直線y=-

1

2

x上可得到AC=2OC，由∠COB=∠A可得到△OCB∽△ACO，從而得到

OC

AC

=

CB

CO

，進(jìn)而可以得到OC=2BC，也就有AB=AC-BC=3BC，OB²=BC²+OC²=5BC²．由條件AB²-OB²=4就可得到BC的值，從而得到OC的值，就可求出k的值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），
則有AC=-a，OC=b．
∵點(diǎn)A在直線y=-

1

2

x上，
∴b=-

1

2

a即a=-2b．
∴AC=2OC．
∵∠COB=∠A，∠OCB=∠ACO，
∴△OCB∽△ACO．
∴

OC

AC

=

CB

CO

．
∴CO=2CB．
∴AC=2OC=4BC．
∴AB=3BC．
∵AC∥x軸，x軸⊥y軸，
∴AC⊥y軸．
∴OB²=BC²+OC²=BC²+（2BC）²=5BC²．
∵AB²-OB²=4，
∴（3BC）²-5BC²=4．
解得：BC=1．
∴OC=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2）．
∵點(diǎn)B在雙曲線y=

k

x

（k≠0）上，
∴k=-1×2=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，而找到AB、OB與BC之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．