Question

10．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，線段AE的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．
（1）求證：ED=BD；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的外接圓的直徑是6，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出∠BED=∠EBD，即可得出答案；
（2）求出BC為△ABC的直徑，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠BED=∠EBD，
∴ED=BD；

（2）解：連接CD，

∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∵⊙O的直徑=6，
∴BC=6，
∵E為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∴BD=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓，三角形的外接圓，圓周角定理，解直角三角形的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．