【題目】如圖,已知四邊形ABCD是矩形,且MO=MD=4,MC=3.
(1)求直線BM的解析式;
(2)求過(guò)A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)在(2)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PMB構(gòu)成以BM為直角邊的直角三角形?若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;若有,則求出一個(gè)符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x+4.(2)y=-x2-x+4;(3)見(jiàn)解析(-)(-).
【解析】
(1)根據(jù)MO=MD=4,MC=3就可以求出A、M、B三點(diǎn)的作坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式.
(2)根據(jù)(1)中A、M、B三點(diǎn)的作坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式.
(3)過(guò)M、B作MB的垂線,它與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn),因而符合條件的P點(diǎn)是存在的.當(dāng)∠PMB=90°時(shí),過(guò)P作PH⊥DC交于H,則可證△MPH∽△BMC,得到PH:HM=CM:CB=3:4,因而可以設(shè)HM=4a(a>0),則PH=3a,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4a,4-3a).將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2-+4就可以求出a的值,進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)∵MO=MD=4,MC=3,
∴M、A、B的坐標(biāo)分別為(0,4),(-4,0),(3,0)
設(shè)BM的解析式為y=kx+b;
則,解得:
∴BM的解析式為y=x+4.
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-3)
將M(0,4)的坐標(biāo)代入得a=-
∴y=-(x+4)(x-3)=-x2-x+4
(3)設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P,使△PMB構(gòu)成直角三角形.
①過(guò)M作MB的垂線與拋物線交于P,過(guò)P作PH⊥DC交于H,
∴∠PMB=90°,
∴∠PMH=∠MBC,
∴△MPH∽△BMC,
∴PH:HM=CM:CB=3:4
設(shè)HM=4a(a>0),則PH=3a
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4a,4-3a)
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2-x+4得:
4-3a=-(-4a)2-×(-4a)+4
解得a=0(舍出),a=,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,)
②或者,拋物線上存在點(diǎn)P,使△PMB構(gòu)成直角三角形.
過(guò)M作MB的垂線與拋物線交于P,設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),
由∠PMB=90°,∠PMD=∠MBC,
過(guò)P作PH⊥DC交于H,則MH=-x0,PH=4-y0
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
得=,
∴=+4
∴+4=--+4
∴,=0(舍去)
∴=()+4=,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)
類似的,如果過(guò)B作BM的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,
設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),
同樣可求得=-,
由-=--+4
∴,=3(舍去)
=()-=-
這時(shí)P的坐標(biāo)為(,-).
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(1)求水箱內(nèi)水量的最小值;
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【題目】根據(jù)下列要求,解答相關(guān)問(wèn)題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的過(guò)程
①構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:
根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x;拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1,開(kāi)口向下,頂點(diǎn)(﹣1,2)與x軸的交點(diǎn)是(0,0),(﹣2,0),用三點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x的圖象如圖1所示;
②數(shù)形結(jié)合,求得界點(diǎn):
當(dāng)y=0時(shí),求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為 ;
③借助圖象,寫出解集:
由圖象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集為 .
(2)利用(1)中求不等式解集的方法步驟,求不等式x2﹣2x+1<4的解集.
①構(gòu)造函數(shù),畫出圖象;
②數(shù)形結(jié)合,求得界點(diǎn);
③借助圖象,寫出解集.
(3)參照以上兩個(gè)求不等式解集的過(guò)程,借助一元二次方程的求根公式,直接寫出關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集.
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