【題目】已知正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.
(1)如圖1,E,G分別是OB,OC上的點,CE與DG的延長線相交于點F.若DF⊥CE,求證:OE=OG;
(2)如圖2,H是BC上的點,過點H作EH⊥BC,交線段OB于點E,連結DH交CE于點F,交OC于點G.若OE=OG,
①求證:∠ODG=∠OCE;
②當AB=1時,求HC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②
【解析】試題分析:(1)欲證明OE=OG,只要證明△DOG≌△COE(ASA)即可;
(2)①欲證明∠ODG=∠OCE,只要證明△ODG≌△OCE即可;
②設CH=x,由△CHE∽△DCH,可得,即HC2=EHCD,由此構建方程即可解決問題;
試題解析:(1)證明:如圖1中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OD=OC,∴∠DOG=∠COE=90°,∴∠OEC+∠OCE=90°,∵DF⊥CE,∴∠OEC+∠ODG=90°,∴∠ODG=∠OCE,∴△DOG≌△COE(ASA),∴OE=OG.
(2)①證明:如圖2中,∵OG=OE,∠DOG=∠COE=90°OD=OC,∴△ODG≌△OCE,∴∠ODG=∠OCE.
②解:設CH=x,∵四邊形ABCD是正方形,AB=1,∴BH=1﹣x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°,∵EH⊥BC,∴∠BEH=∠EBH=45°,∴EH=BH=1﹣x,∵∠ODG=∠OCE,∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE,∴∠HDC=∠ECH,∵EH⊥BC,∴∠EHC=∠HCD=90°,∴△CHE∽△DCH,∴,∴HC2=EHCD,∴x2=(1﹣x)1,解得x=或(舍棄),∴HC=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側),與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求點A,點B和點D的坐標;
(2)在y軸上是否存在一點P,使PBC為等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;
(3)若動點M從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿AB向點B運動,同時另一個動點N從點D出發(fā),以每秒2個單位長度的速度在拋物線的對稱軸上運動,當點M到達點B時,點M,N同時停止運動,問點M,N運動到何處時,MNB的面積最大,試求出最大面積.
(備用圖)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知點A(-4,3),點B(-4,0),OA=5,以點O為直角頂點,點C在第一象限內,作等腰直角△AOC.
(1)直接寫出點C坐標:
(2)直接寫出四邊形ABOC的面積:
(3)在y軸找一點P,使得△BOP的面積等于四邊形ABOC的面積,請直接寫出點P坐標:
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在一個長方形廣場的四角都設計一塊半徑相同的四分之一圓形的花壇.若廣場的長為m米,寬為n米,圓形的半徑為r米.
(1)列式表示廣場空地的面積.
(2)若廣場的長為300米,寬為200米,圓形的半徑為30米,求廣場空地的面積(計算結果保留π).
(3)如圖2所示,在(2)的條件下,若在廣場的中間再建一個半徑為R的圓形花壇,使廣場的空地面積不少于廣場總面積的,求R的最大整數(shù)值(π取3.1).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店出售A、B兩種商品,一月份這兩種商品的利潤都是10萬元,后因某種原因確定增加出售A種商品的數(shù)量,使A種商品每月利潤的增長率都為a,同時減少B種商品的數(shù)量,使B種商品每月利潤減少的百分率也都是a,(1)分別求出二月份出售A和B兩種商品的利潤是多少萬元?(2)求出三月份出售A、B兩種商品的總利潤是多少萬元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°
(1)請判斷AB與CD的位置關系并說明理由;
(2)如圖2,當∠E=90°且AB與CD的位置關系保持不變,移動直角頂點E,使∠MCE=∠ECD,當直角頂點E點移動時,問∠BAE與∠MCD否存在確定的數(shù)量關系?并說明理由;
(3)如圖3,P為線段AC上一定點,點Q為直線CD上一動點且AB與CD的位置關系保持不變,當點Q在射線CD上運動時(點C除外)∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關系?猜想結論并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2x+c(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A,B,C三點,已知點A(﹣2,0),點C(0,﹣8),點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)如圖1,拋物線的對稱軸與x軸交于點E,第四象限的拋物線上有一點P,將△EBP沿直線EP折疊,使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上,求點P的坐標;
(3)如圖2,設BC交拋物線的對稱軸于點F,作直線CD,點M是直線CD上的動點,點N是平面內一點,當以點B,F,M,N為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB和直線CD相交于點O,OF平分∠COE,過點O作OG⊥OF.
(1)若∠AOE=80°,∠COF=22°,則∠BOD= ;
(2)若∠COE=40°,試說明:OG平分∠DOE.
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