Question

【題目】E、F是線段AB上的兩點(diǎn)，且AB＝16，AE＝1，BF＝3，點(diǎn)G是線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，分別以AG、BG為斜邊在AB同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為D、C，如圖所示，連接CD并取中點(diǎn)P，連結(jié)PG，點(diǎn)G從E點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，則線段PG掃過的圖形面積為______．

Answer 1

【答案】36

【解析】

分別延長AD、BC相交于點(diǎn)H，連接PH，EH，FH，易證四邊形DGCH為矩形，且P為矩形DGCH的對角線交點(diǎn)，即P為HG中點(diǎn)，過P作MN∥AB分別交EH、FH與M、N，所以MN為△HEF的中位線，即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡即為MN，所以GP掃過的圖形即為梯形MEFN，再根據(jù)已知線段求出梯形MEFN的面積即可．

解：分別延長AD、BC交于點(diǎn)H，連接PH，EH，FH，

∵△ADG、△GCB為等腰直角三角形，

∴∠DGA=∠CGB=45°，

∴∠DGC=90°，

∴AH∥GC，

又∵∠HCG=90°，

∴∠HCG=∠DGC=90°，

∴DG∥HB，

∴四邊形DGCH為矩形，

∵點(diǎn)P未DC中點(diǎn)，

∴點(diǎn)G、P、H三點(diǎn)共線，且P為HG的中點(diǎn)，

過P作MN∥于AB分別交EH、FH與M、N，

∴MN為△HEF的中位線，且MN即為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，

∴GP掃過的圖形即為梯形MEFN，

∵AB＝16，AE＝1，BF＝3，

∴EF=16-1-3=12，

∴，

過點(diǎn)H作HO垂直AB于O，

∴，

∴梯形的高為：，

∴,

即線段PG掃過的圖形面積為36，

故答案為：36．